第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 3/9 步：一个尺度引理

上一步下一步

f(a)=f(b)\ \Longrightarrow\ f(ax)=f(bx)\ \text{for every real}\ x\qquad(1)

详细分析

设 $f(a)=f(b)$ 。由第1步， $f(a^2)=f(f(a))=f(f(b))=f(b^2)$ 。在原方程中分别取 $y=a$ 与 $y=b$ ，得 $f(x^2+f(a))=f(f(x))+f(a^2)+2f(xa)$ 与 $f(x^2+f(b))=f(f(x))+f(b^2)+2f(xb)$ 。左边相等（因 $f(a)=f(b)$ ）， $f(a^2),f(b^2)$ 也相等；将两式相减，剩下 $2f(xa)=2f(xb)$ ，即对每个实数 $x$ 都有 $f(ax)=f(bx)$ 。