第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 4/9 步：排除平凡解之外的零点

上一步下一步

f(a)=0,\ a\ne0\ \Longrightarrow\ f\equiv0;\qquad \text{assume}\ f\not\equiv0,\ \text{so}\ f(a)=0\Leftrightarrow a=0

详细分析

若对某个 $a\ne0$ 有 $f(a)=0$ ，对第3步的引理取 $b=0$ （因 $f(a)=f(0)=0$ ）：对每个 $x$ 都有 $f(ax)=f(0\cdot x)=f(0)=0$ ；取 $x=t/a$ 得对每个实数 $t$ 都有 $f(t)=0$ ，即 $f\equiv0$ 。此常数函数显然满足原方程。此后只考察 $f\not\equiv0$ 的解，此时 $f(a)=0$ 迫使 $a=0$ 。