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第5题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}，使得对任意实数 xx、yy，都有 f(x2+f(y))=f(f(x))+f(y2)+2f(xy)f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)。
第 5/9 步：反证法证明非负性
上一步下一步
f(s)=−t2, s,t≠0 ⟹ 4f(s2)=f(s2+f(s))=f(0)=0 (contradiction) ⟹ f≥0 everywheref(s)=-t^2,\ s,t\ne0\ \Longrightarrow\ 4f(s^2)=f\big(s^2+f(s)\big)=f(0)=0\ \text{(contradiction)}\ \Longrightarrow\ f\ge0\ \text{everywhere}
详细分析

设对某个 s,t≠0s,t\ne0 有 f(s)=−t2f(s)=-t^2。对 (∗)(*) 取 x=s,y=tx=s,y=t：f(s2+f(t))=f(t2+f(s))=f(0)=0f(s^2+f(t))=f(t^2+f(s))=f(0)=0，故（第4步）s2+f(t)=0s^2+f(t)=0，即 f(t)=−s2f(t)=-s^2；于是 f(t2)=f(−t2)=f(f(s))=f(s2)f(t^2)=f(-t^2)=f(f(s))=f(s^2)（偶性，再由 f(s)=−t2f(s)=-t^2，再由第1步）。对 (∗)(*) 的完整形式分别取 x=s2+t2,y=sx=\sqrt{s^2+t^2},y=s 与 y=ty=t，得 f(s2+t2)+2f(ss2+t2)=0=f(s2+t2)+2f(ts2+t2)f(s^2+t^2)+2f(s\sqrt{s^2+t^2})=0=f(s^2+t^2)+2f(t\sqrt{s^2+t^2})，故 f(ss2+t2)=f(ts2+t2)f(s\sqrt{s^2+t^2})=f(t\sqrt{s^2+t^2})；由引理（第3步）取乘数 1/s2+t21/\sqrt{s^2+t^2}，得 f(s)=f(t)=−s2f(s)=f(t)=-s^2。此时对 (∗)(*) 的完整形式取 x=y=sx=y=s，得 f(s2+f(s))=4f(s2)f(s^2+f(s))=4f(s^2)，而左边为 f(s2−s2)=f(0)=0f(s^2-s^2)=f(0)=0；故 f(s2)=0f(s^2)=0 且 s2≠0s^2\ne0，与第4步矛盾。因此不存在这样的 s,ts,t，对每个实数 xx 都有 f(x)≥0f(x)\ge0；结合第4步，x≠0x\ne0 时 f(x)>0f(x)>0。