第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 6/9 步：解f(k)=1迫使k=1

上一步下一步

k>0,\ f(k)=1\ \Longrightarrow\ f(1/k)=f(k)=1,\ \text{WLOG}\ k\ge1;\qquad f(k^2-1)=-2f(k\sqrt{k^2-1})\le0\ \Longrightarrow\ k=1

详细分析

设 $k>0$ 满足 $f(k)=1$ 。由第1步， $f(k^2)=f(f(k))=f(1)$ ，故由引理（第3步）取乘数 $1/k$ ，得 $f(k)=f(1/k)$ ；于是也有 $f(1/k)=1$ ，故可设 $k\ge1$ 。对 $(*)$ 的完整形式取 $x=\sqrt{k^2-1},y=k$ ： $f(k^2-1+f(k))=f(k^2-1)+f(k^2)+2f(k\sqrt{k^2-1})$ ，即（利用 $f(k)=1$ ） $f(k^2)=f(k^2-1)+f(k^2)+2f(k\sqrt{k^2-1})$ ，故由第5步的非负性 $f(k^2-1)=-2f(k\sqrt{k^2-1})\le0$ 。又 $f(k^2-1)\ge0$ ，故 $f(k^2-1)=0$ ，由第4步得 $k^2-1=0$ ，即 $k=1$ 。