第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 7/9 步：确定f(1)=1

上一步下一步

m=f(1)>0;\quad m\le1:\ f(1-m)=-2f(\sqrt{1-m})\le0\Rightarrow m=1;\quad m\ge1:\ f(m)=m,\ f(m^2-m)=-2f(\sqrt{m^2-m})\le0\Rightarrow m=1

详细分析

设 $m=f(1)$ ；由第5步， $m>0$ 。若 $m\le1$ ，对 $(*)$ 的完整形式取 $x=\sqrt{1-m},y=1$ ： $f(1-m+f(1))=f(1-m)+f(1)+2f(\sqrt{1-m})$ 变为 $f(1)=f(1-m)+f(1)+2f(\sqrt{1-m})$ ，故 $f(1-m)=-2f(\sqrt{1-m})\le0$ ；结合 $f(1-m)\ge0$ ，得 $f(1-m)=0$ ，故 $1-m=0$ ，即 $m=1$ 。若 $m\ge1$ ，则由第1步， $f(m)=f(f(1))=f(1)=m$ ，故 $f(m^2)=f(f(m))=f(m)=m$ ；对 $(*)$ 的完整形式取 $x=\sqrt{m^2-m},y=1$ ： $f(m^2-m+f(1))=f(m^2-m)+f(1)+2f(\sqrt{m^2-m})$ 变为 $f(m^2)=f(m^2-m)+m+2f(\sqrt{m^2-m})$ ，即 $m=f(m^2-m)+m+2f(\sqrt{m^2-m})$ ，故 $f(m^2-m)=-2f(\sqrt{m^2-m})\le0$ ；结合 $f(m^2-m)\ge0$ ，得 $f(m^2-m)=0$ ，故 $m^2-m=0$ ，又 $m\ge1$ ，故 $m=1$ 。无论哪种情形，都有 $f(1)=1$ 。