第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 8/9 步：确定f在正实数上的取值

上一步下一步

x>0,\ m=f(x)\ \Longrightarrow\ f(m/x^2)=f(1)=1\ \Longrightarrow\ m/x^2=1\ \Longrightarrow\ f(x)=x^2

详细分析

固定 $x>0$ ，设 $m=f(x)>0$ （第5步）。由第1步， $f(m)=f(f(x))=f(x^2)$ ；由引理（第3步）取乘数 $1/x^2$ ，得 $f(m/x^2)=f(x^2/x^2)=f(1)=1$ （第7步）。因 $m/x^2>0$ ，将第6步用于 $k=m/x^2$ 得 $m/x^2=1$ ，即 $m=x^2$ 。故对每个 $x>0$ 都有 $f(x)=x^2$ 。