第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 9/9 步：推广到所有实数并得出结论

上一步下一步

x<0:\ f(x)=f(-x)=(-x)^2=x^2;\qquad f(0)=0=0^2\ \Longrightarrow\ f(x)=x^2\ \text{for all}\ x

详细分析

当 $x<0$ 时， $-x>0$ ，故由第8步 $f(-x)=(-x)^2=x^2$ ，由偶性（第2步） $f(x)=f(-x)=x^2$ 。结合 $f(0)=0=0^2$ （第1步），对每个实数 $x$ 都有 $f(x)=x^2$ 。该函数满足原方程，因为 $f(x^2+f(y))=(x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4$ 等于 $f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)=x^4+y^4+2x^2y^2$ 。结合第4步的平凡解 $f\equiv0$ ，解恰为：对所有 $x$ ， $f(x)=0$ ；以及对所有 $x$ ， $f(x)=x^2$ 。