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第1题

设 Γ\Gamma 为三角形 ABCABC 的外接圆。设 DD 为边 BCBC 上的一点。过 DD 且平行于 BABA 的直线与 Γ\Gamma 在 AA 处的切线交于点 EE。线段 CECE 与 Γ\Gamma 的第二个交点为 FF。设 BB、DD、FF、EE 四点共圆。证明 ACAC、BFBF、DEDE 三线共点。
第 2/4 步：平行线给出相等的同位角
上一步下一步
∠EDC=∠ABC  ⟹  ∠EAC=∠EDC\angle EDC=\angle ABC \implies \angle EAC=\angle EDC
详细分析

直线 BCBC 是截线，分别在 BB、DD 处与平行线 ABAB、DEDE 相交，故同位角相等：∠EDC=∠ABC\angle EDC=\angle ABC。结合上一步得 ∠EAC=∠EDC\angle EAC=\angle EDC，即 AA 与 DD 在线段 ECEC 同侧且所张角相等，因此 AA、DD、CC、EE 四点共圆。