亚太数学奥林匹克 · 2020年

试题

第1题设 $\Gamma$ 为三角形 $ABC$ 的外接圆。设 $D$ 为边 $BC$ 上的一点。过 $D$ 且平行于 $BA$ 的直线与 $\Gamma$ 在 $A$ 处的切线交于点 $E$ 。线段 $CE$ 与 $\Gamma$ 的第二个交点为 $F$ 。设 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 、 $E$ 四点共圆。证明 $AC$ 、 $BF$ 、 $DE$ 三线共点。解法: 1
第2题证明 $r=2$ 是满足下述条件的最大实数 $r$ ：若正整数数列 $a_1,a_2,\ldots$ 对每个正整数 $n$ 都满足不等式 $a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}$ ，则存在正整数 $M$ ，使得对每个 $n\ge M$ 都有 $a_{n+2}=a_n$ 。解法: 1
第3题求所有正整数 $k$ ，使得存在正整数 $m$ 与正整数集合 $S$ ，使任意整数 $n>m$ 都恰好能表示成 $S$ 中互不相同元素之和的 $k$ 种方式。解法: 1
第4题用 $\mathbb{Z}$ 表示全体整数的集合。求所有满足下述性质的整系数多项式 $P(x)$ ：对任意由 $\mathbb{Z}$ 中每个整数恰好出现一次组成的无穷整数数列 $a_1,a_2,\ldots$ ，总存在下标 $i<j$ 及整数 $k$ ，使得 $a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j=P(k)$ 。解法: 1
第5题设 $n\ge3$ 为固定整数。黑板上写有 $n$ 个数 $1$ 。黑板下方有两个初始为空的桶。一次操作是擦去其中两个数 $a$ 与 $b$ ，用 $1$ 和 $a+b$ 替换它们，然后往第一个桶中加入一颗石子，往第二个桶中加入 $\gcd(a,b)$ 颗石子。经过有限次操作后，第一个桶中有 $s$ 颗石子，第二个桶中有 $t$ 颗石子，其中 $s$ 与 $t$ 为正整数。求比值 $\dfrac{t}{s}$ 的所有可能取值。解法: 1