MathLabs

第1题

设 Γ\Gamma 为三角形 ABCABC 的外接圆。设 DD 为边 BCBC 上的一点。过 DD 且平行于 BABA 的直线与 Γ\Gamma 在 AA 处的切线交于点 EE。线段 CECE 与 Γ\Gamma 的第二个交点为 FF。设 BB、DD、FF、EE 四点共圆。证明 ACAC、BFBF、DEDE 三线共点。
第 4/4 步：根轴恰好是这三条直线
上一步下一步
radical axis(Γ,ω2)=BF, radical axis(Γ,ω1)=AC, radical axis(ω1,ω2)=DE\text{radical axis}(\Gamma,\omega_2)=BF,\ \text{radical axis}(\Gamma,\omega_1)=AC,\ \text{radical axis}(\omega_1,\omega_2)=DE
详细分析

两个相交圆的根轴是过它们两个公共点的直线。因此 Γ,ω2\Gamma,\omega_2 的根轴是直线 BFBF；Γ,ω1\Gamma,\omega_1 的根轴是直线 ACAC；ω1,ω2\omega_1,\omega_2 的根轴是直线 DEDE。由根心定理，任意三个圆的三条根轴共点，所以 BFBF、ACAC、DEDE 三线共点。