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第2题

证明 r=2r=2 是满足下述条件的最大实数 rr：若正整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 对每个正整数 nn 都满足不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}，则存在正整数 MM，使得对每个 n≥Mn\ge M 都有 an+2=ana_{n+2}=a_n。
第 1/6 步：用一个递增的例子排除 r>2
上一步下一步
a=⌈1r−2⌉,an=a+⌊n2⌋a=\left\lceil\tfrac{1}{r-2}\right\rceil,\quad a_n=a+\left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor
详细分析

设 r>2r>2，取定整数 a≥1/(r−2)a\ge 1/(r-2)。令 an=a+⌊n/2⌋a_n=a+\lfloor n/2\rfloor。则 an≤an+2=an+1a_n\le a_{n+2}=a_n+1，且由 an+1≥an≥a≥1/(r−2)a_{n+1}\ge a_n\ge a\ge 1/(r-2) 得 (r−2)an≥1(r-2)a_n\ge 1，即 2an+1≤r an≤r an+12a_n+1\le r\,a_n\le r\,a_{n+1}，从而 an+22=(an+1)2=an2+2an+1≤an2+r an+1a_{n+2}^2=(a_n+1)^2=a_n^2+2a_n+1\le a_n^2+r\,a_{n+1}。因此该数列对此 rr 满足假设，但对每个 nn 都有 an+2=an+1≠ana_{n+2}=a_n+1\ne a_n，故不存在这样的 MM。所以 rr 不能超过 22。