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第2题

证明 r=2r=2 是满足下述条件的最大实数 rr：若正整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 对每个正整数 nn 都满足不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}，则存在正整数 MM，使得对每个 n≥Mn\ge M 都有 an+2=ana_{n+2}=a_n。
第 2/6 步：r=2 时的第一条引理
上一步下一步
an+1≤an  ⟹  an+2=ana_{n+1}\le a_n \implies a_{n+2}=a_n
详细分析

现在取 r=2r=2。若 an+1≤ana_{n+1}\le a_n，则 an+2≤an2+2an+1≤an2+2an+1=an+1a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+2a_{n+1}}\le\sqrt{a_n^2+2a_n+1}=a_n+1。由于 an+2a_{n+2} 是整数且 an≤an+2<an+1a_n\le a_{n+2}<a_n+1，必有 an+2=ana_{n+2}=a_n。