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第2题

证明 r=2r=2 是满足下述条件的最大实数 rr：若正整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 对每个正整数 nn 都满足不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}，则存在正整数 MM，使得对每个 n≥Mn\ge M 都有 an+2=ana_{n+2}=a_n。
第 3/6 步：r=2 时的第二条引理
上一步下一步
an≤an+1  ⟹  an+2≤an+1a_n\le a_{n+1} \implies a_{n+2}\le a_{n+1}
详细分析

类似地，若 an≤an+1a_n\le a_{n+1}，则 an+2≤an2+2an+1≤an+12+2an+1+1=an+1+1a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+2a_{n+1}}\le\sqrt{a_{n+1}^2+2a_{n+1}+1}=a_{n+1}+1；将第一条引理中 an,an+1a_n,a_{n+1} 的角色互换做同样的计算，可直接得到 an+2≤an+1a_{n+2}\le a_{n+1}。