第2题

证明

r=2

是满足下述条件的最大实数

r

：若正整数数列

a_1,a_2,\ldots

对每个正整数

n

都满足不等式

a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}

，则存在正整数

M

，使得对每个

n\ge M

都有

a_{n+2}=a_n

。

第 4/6 步：启动交替链

上一步下一步

a_{m+2}>a_m \implies a_{m+2}\le a_{m+1},\quad a_{m+3}=a_{m+1}

详细分析

设某个下标 $m$ 满足 $a_{m+2}>a_m$ 。由第一条引理的逆否命题（取 $n=m$ ）知不可能 $a_{m+1}\le a_m$ ，故 $a_m\le a_{m+1}$ ；由第二条引理得 $a_{m+2}\le a_{m+1}$ 。由于 $a_{m+2}\le a_{m+1}$ ，在 $n=m+1$ 处应用第一条引理得 $a_{m+3}=a_{m+1}$ 。