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第2题

证明 r=2r=2 是满足下述条件的最大实数 rr：若正整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 对每个正整数 nn 都满足不等式 an≤an+2≤an2+r an+1a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}，则存在正整数 MM，使得对每个 n≥Mn\ge M 都有 an+2=ana_{n+2}=a_n。
第 5/6 步：归纳固定奇数项并给出偶数项的上界
上一步下一步
am+2k+1=am+1 (k≥1),am+2k↑, am+2k≤am+1a_{m+2k+1}=a_{m+1}\ (k\ge1),\qquad a_{m+2k}\uparrow,\ a_{m+2k}\le a_{m+1}
详细分析

重复上一步（利用两条引理比较 am+2ka_{m+2k} 与 am+2k+1=am+1a_{m+2k+1}=a_{m+1}），归纳可得对一切 k≥1k\ge1 有 am+2k+1=am+1a_{m+2k+1}=a_{m+1}，对一切 k≥0k\ge0 有 am+2k≤am+1a_{m+2k}\le a_{m+1}。题目假设已给出 am≤am+2≤am+4≤⋯a_m\le a_{m+2}\le a_{m+4}\le\cdots，故偶数下标子列 (am+2k)k≥0(a_{m+2k})_{k\ge0} 是以 am+1a_{m+1} 为上界的正整数不减数列，因而最终变为常数：存在 KK 使得对一切 k≥Kk\ge K 都有 am+2k=am+2Ka_{m+2k}=a_{m+2K}。