第2题

证明

r=2

是满足下述条件的最大实数

r

：若正整数数列

a_1,a_2,\ldots

对每个正整数

n

都满足不等式

a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}

，则存在正整数

M

，使得对每个

n\ge M

都有

a_{n+2}=a_n

。

第 6/6 步：结论

上一步下一步

M=\max(m+1,\,m+2K) \implies a_{n+2}=a_n\ (n\ge M)

详细分析

若不存在下标 $m$ 使 $a_{m+2}>a_m$ ，则对一切 $n$ 都有 $a_{n+2}=a_n$ （由假设 $a_n\le a_{n+2}$ 及上述引理处处成立等号），故取 $M=1$ 即可。否则，用上面的 $m,K$ ，取 $M=\max(m+1,m+2K)$ ：对与 $m+1$ 同奇偶的 $n\ge M$ ，有 $a_{n+2}=a_n=a_{m+1}$ ；对与 $m$ 同奇偶的 $n\ge M$ ，有 $a_{n+2}=a_n=a_{m+2K}$ 。两种情形都有 $a_{n+2}=a_n$ ，所以 $r=2$ 满足所需条件，结合第一步可知它是满足条件的最大实数。