第3题

设条件成立。有限集合只有有限个子集和，因此 S 必为无限集。取 S 中充分大的元素 x。若 S 中另有元素 y 严格位于 x 与其两倍之间，先考虑 y 大于 x 加 m 的情形：y 减 x 的 k 种表示都不使用 x，加上 x 后得到 y 的 k 种表示，另有单元素表示。若 y 不大于 x 加 m，则当 m 至少为 2 时取严格位于 x 的两倍减 m 与 x 的两倍之间的整数 z；当 m=1 时取 z 为 x 的两倍，并使用 x 的 k−1 个非单元素表示。在两种情形中，分别将 x、y 加入 z 减 x、z 减 y 的表示，都会得到超过 k 种 z 的表示。故不存在这样的 y。若 x 的两倍不在 S 中，则用 x 表示 x 的两倍的表示恰好对应于 x 的表示中除单元素表示外的所有表示。剩余表示不含 x；若含有小于 x 减 m 的项，删去该项会产生位于 x 与其两倍之间的禁元素，而若所有项都在从 x 减 m 到 x 之间，则用两项或三项都不可能得到 x 的两倍。故 x 的两倍属于 S。