第4题

设 $P(x)=cx+d$，$c\ne0$，令 $s_0=0$，$s_i=a_1+\cdots+a_i$。区间和 $a_i+\cdots+a_j=s_j-s_{i-1}$ 对某个整数 $k$ 等于 $P(k)=ck+d$ 当且仅当 $s_j-s_{i-1}\equiv d\pmod c$。由于每个整数恰好出现一次，存在无穷多个位置 $e$ 使 $a_e\equiv d\pmod{|c|}$；取其中 $|c|+1$ 个，记为 $e_1<\cdots<e_{|c|+1}$。因 $a_{e_l}\equiv d\pmod c$，$s_{e_l}\bmod c$ 由 $s_{e_l-1}\bmod c$ 决定，而后者只有 $|c|$ 种可能取值；由鸽笼原理，存在 $p<q$ 使 $s_{e_p-1}\equiv s_{e_q-1}\pmod c$。