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第4题

用 Z\mathbb{Z} 表示全体整数的集合。求所有满足下述性质的整系数多项式 P(x)P(x)：对任意由 Z\mathbb{Z} 中每个整数恰好出现一次组成的无穷整数数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots，总存在下标 i<ji<j 及整数 kk，使得 ai+ai+1+⋯+aj=P(k)a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j=P(k)。
第 4/5 步：有界多項式不满足条件
上一步下一步
a3u+1=2u,a3u+2=2u+1,a3u+3=−(u+1) (u≥0);∑ℓ=ijaℓ≥0 for i<ja_{3u+1}=2u,\quad a_{3u+2}=2u+1,\quad a_{3u+3}=-(u+1)\ (u\ge0);\qquad \sum_{\ell=i}^{j}a_\ell\ge0\ \text{for }i<j
详细分析

所示数列是全体整数的一个双射；直接按三个可能的端点位置检查可知，任意至少含两项的连续和都非负。若 P 的值域有上界，取大于该上界的正整数 C 并给每项加上 C。每个区间至少含两项，故其和大于 C，避开 P 的值域。若值域有下界，则给每项减去 C；所有区间和都小于下界。平移仍保持与全体整数的双射，因此常数多项式和偶数次多项式都不满足条件。