第4题

用

\mathbb{Z}

表示全体整数的集合。求所有满足下述性质的整系数多项式

P(x)

：对任意由

\mathbb{Z}

中每个整数恰好出现一次组成的无穷整数数列

a_1,a_2,\ldots

，总存在下标

i<j

及整数

k

，使得

a_i+a_{i+1}+\cdots+a_j=P(k)

。

第 5/5 步：更高奇数次：间隔增大，可构造避开 P 的双射

上一步下一步

\deg P\ge3,\ \deg P\text{ odd}:\ \forall A,B,C\ \exists y,\ |y|>C,\ \operatorname{range}(P)\cap[y-A,y+B]=\varnothing

详细分析

若 $\deg P$ 为奇数且至少为 $3$ ，则当 $|x|\to\infty$ 时间隔 $P(x+1)-P(x)$ 无界增长，故对任意界 $A,B,C$ ，存在 $y$ 满足 $|y|>C$ 且 $P$ 的值都不落在 $[y-A,y+B]$ 内。用贪心法构造数列：已放置 $a_1,\ldots,a_i$ 后，令 $m$ 为绝对值最小的未用整数，令 $a_{i+2}=m$ ，再利用间隔事实选取 $a_{i+1}$ （所有新的区间和都含有 $a_{i+1}$ ，落在其周围一个有界窗口内），使新产生的每个连续区间和都避开 $P$ 的值域。由此得到一个双射 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ ，其区间和都不等于任何 $P(k)$ ，故 $P$ 不满足该性质；结合上一步，只有 $c\ne0$ 的一次多项式 $P$ 才能满足。