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第5题

设 n≥3n\ge3 为固定整数。黑板上写有 nn 个数 11。黑板下方有两个初始为空的桶。一次操作是擦去其中两个数 aa 与 bb，用 11 和 a+ba+b 替换它们，然后往第一个桶中加入一颗石子，往第二个桶中加入 gcd⁡(a,b)\gcd(a,b) 颗石子。经过有限次操作后，第一个桶中有 ss 颗石子，第二个桶中有 tt 颗石子，其中 ss 与 tt 为正整数。求比值 ts\dfrac{t}{s} 的所有可能取值。
第 1/6 步：答案
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ts∈Q∩[1,n−1)\frac{t}{s}\in\mathbb{Q}\cap[1,n-1)
详细分析

t/st/s 的可能取值恰好是区间 [1,n−1)[1,n-1) 内的所有有理数。