把黑板上的 nnn 个数排成一行，按从左到右的位置令 q=∑i=1n(i−1)aiq=\sum_{i=1}^n(i-1)a_iq=∑i=1n(i−1)ai，并约定 a+ba+ba+b 始终写在被擦去的右侧数字所在的位置。若位置 i<ji<ji<j 处为 a,ba,ba,b，则该操作使 qqq 改变 (i−1)(1−a)+(j−1)((a+b)−b)=(i−1)+a(j−i)≥a≥gcd(a,b)(i-1)(1-a)+(j-1)((a+b)-b)=(i-1)+a(j-i)\ge a\ge\gcd(a,b)(i−1)(1−a)+(j−1)((a+b)−b)=(i−1)+a(j−i)≥a≥gcd(a,b)。因此 q−tq-tq−t 永不减少，故始终有 q−t≥q0−t0=n(n−1)2q-t\ge q_0-t_0=\tfrac{n(n-1)}2q−t≥q0−t0=2n(n−1)，其中 q0=n(n−1)2q_0=\tfrac{n(n-1)}2q0=2n(n−1) 为初始值（全为 111），t0=0t_0=0t0=0。