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第1题

证明:对每个实数 r>2r>2,恰好存在两个或三个正实数 xx 满足方程 x2=r⌊x⌋x^2=r\lfloor x\rfloor。(这里 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数。)
第 4/4 步:结论
2≤#{x}≤32\le \#\{x\}\le 3
详细分析

上一步中的两个整数 k=⌊r⌋,⌊r⌋−1k=\lfloor r\rfloor,\lfloor r\rfloor-1 都满足 r−2<k≤r⊂(r−3,r]r-2<k\le r\subset(r-3,r],所以在之前得到的至多三个候选中,至少这两个总能给出真实解。因此正解 xx 的个数至少为 22、至多为 33,即恰好两个或三个。