第2题

常数多项式 $P$ 立即失败，因为此时 $P_n=\binom n2\to\infty$。若 $\deg P\ge2$，则对某个充分大的 $k$ 有 $P(k)-P(1)\ge k$；取 $n=P(k)-P(1)\ge k$，则值 $P(1)$ 与 $P(k)$（因 $k\le n$，二者都在 $P(1),\ldots,P(n)$ 中）满足 $P(k)-P(1)=n\equiv0\pmod n$，与引理矛盾。故 $\deg P=1$。