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第2题

对多项式 PP 与正整数 nn，定义 PnP_n 为满足 a<b≤na<b\le n 且 ∣P(a)∣−∣P(b)∣|P(a)|-|P(b)| 能被 nn 整除的正整数对 (a,b)(a,b) 的个数。求所有整系数多项式 PP，使得对一切正整数 nn 都有 Pn≤2021P_n\le2021。
第 4/6 步：一次项系数为 ±1
上一步下一步
P(x)=cx+d,∣c∣=1P(x)=cx+d,\quad |c|=1
详细分析

设 P(x)=cx+dP(x)=cx+d，c≠0c\ne0。若 ∣c∣≥2|c|\ge2，取 n=∣c∣≥2n=|c|\ge2，则 P(1)=c+d≡d(modc)P(1)=c+d\equiv d\pmod c 与 P(2)=2c+d≡d(modc)P(2)=2c+d\equiv d\pmod c 模 n=∣c∣n=|c| 同余，与取 y=1,z=2y=1,z=2 的引理矛盾。故 ∣c∣=1|c|=1。