第2题

当 $d\ge0$ 时，不存在满足 $a+b=2m=-2d$ 的对（因 $m\le0$），故对一切 $n$ 都有 $P_n=0$。当 $d=-m<0$ 时，满足 $a<b\le n$、$a+b=2m$、$a<m\le b$ 的对数恰为 $\min(m-1,\,n-m)$（当其非负时），当 $n\ge2m-1$ 时该数等于 $m-1$；故 $\sup_nP_n=m-1$。要求 $m-1\le2021$ 给出 $m\le2022$，即 $d\ge-2022$，且此界也是充分的。将 $P$ 换成 $-P$ 不改变任何 $P_n$（因 $|{-P}|=|P|$），故族 $P(x)=-x+d$ 恰在 $-d\ge-2022$，即 $d\le2022$ 时成立，分类完成。