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第3题

设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，Γ\Gamma 为其外接圆。设 EE 为对角线 ACAC 与 BDBD 的交点，设 LL 为与边 ABAB、BCBC、CDCD 相切的圆的圆心，设 MM 为 Γ\Gamma 上不含 AA、DD 的弧 BCBC 的中点。证明三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心在直线 LMLM 上。
第 1/8 步：标记弧并读出关键角度
上一步下一步
∠ACB=a, ∠DBC=c, ∠EBC=c, ∠ECB=a, ∠BEC=b+d\angle ACB=a,\ \angle DBC=c,\ \angle EBC=c,\ \angle ECB=a,\ \angle BEC=b+d
详细分析

设弧 AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA（不含另外两个顶点的一侧）度数分别为 2a,2b,2c,2d2a,2b,2c,2d，且 a+b+c+d=180∘a+b+c+d=180^\circ。由圆周角定理得 ∠ACB=a\angle ACB=a，∠DBC=c\angle DBC=c；又因 E=AC∩BDE=AC\cap BD，射线 BE=BE= 射线 BDBD，射线 CE=CE= 射线 CACA，故在三角形 BCEBCE 中：∠EBC=∠DBC=c\angle EBC=\angle DBC=c，∠ECB=∠ACB=a\angle ECB=\angle ACB=a，∠BEC=180∘−a−c=b+d\angle BEC=180^\circ-a-c=b+d。