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第3题

设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，Γ\Gamma 为其外接圆。设 EE 为对角线 ACAC 与 BDBD 的交点，设 LL 为与边 ABAB、BCBC、CDCD 相切的圆的圆心，设 MM 为 Γ\Gamma 上不含 AA、DD 的弧 BCBC 的中点。证明三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心在直线 LMLM 上。
第 2/8 步：L 平分 B、C 处的角
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∠LBC=c+d2,∠LCB=a+d2\angle LBC=\tfrac{c+d}2,\quad \angle LCB=\tfrac{a+d}2
详细分析

与直线 AB,BCAB,BC 相切的圆的圆心在 ∠ABC\angle ABC 的内角平分线上；又与 CDCD 相切，其圆心也在 ∠BCD\angle BCD 的内角平分线上。因 ∠ABC=c+d\angle ABC=c+d，∠BCD=a+d\angle BCD=a+d（各自所对的是不含该角顶点的弧），故 ∠LBC=c+d2\angle LBC=\tfrac{c+d}2，∠LCB=a+d2\angle LCB=\tfrac{a+d}2。