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第3题

设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，Γ\Gamma 为其外接圆。设 EE 为对角线 ACAC 与 BDBD 的交点，设 LL 为与边 ABAB、BCBC、CDCD 相切的圆的圆心，设 MM 为 Γ\Gamma 上不含 AA、DD 的弧 BCBC 的中点。证明三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心在直线 LMLM 上。
第 5/8 步：关键的角度匹配
上一步下一步
∠MBL=90∘−a2=∠NCB,∠MCL=90∘−c2=∠NBC\angle MBL=90^\circ-\tfrac a2=\angle NCB,\qquad \angle MCL=90^\circ-\tfrac c2=\angle NBC
详细分析

将前两步中 BB 处的角相加：∠MBL=∠MBC+∠LBC=b2+c+d2=b+c+d2=90∘−a2\angle MBL=\angle MBC+\angle LBC=\tfrac b2+\tfrac{c+d}2=\tfrac{b+c+d}2=90^\circ-\tfrac a2，恰好等于 ∠NCB\angle NCB。同理，∠MCL=∠MCB+∠LCB=b2+a+d2=90∘−c2=∠NBC\angle MCL=\angle MCB+\angle LCB=\tfrac b2+\tfrac{a+d}2=90^\circ-\tfrac c2=\angle NBC。