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第3题

设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，Γ\Gamma 为其外接圆。设 EE 为对角线 ACAC 与 BDBD 的交点，设 LL 为与边 ABAB、BCBC、CDCD 相切的圆的圆心，设 MM 为 Γ\Gamma 上不含 AA、DD 的弧 BCBC 的中点。证明三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心在直线 LMLM 上。
第 7/8 步：同一比值在 N 上再次出现
上一步下一步
∠LBN=∠LCN=90∘+d2,NBNC=sin⁡∠NCBsin⁡∠NBC=cos⁡(a/2)cos⁡(c/2)=sin⁡∠BLNsin⁡∠CLN\angle LBN=\angle LCN=90^\circ+\tfrac d2,\qquad \frac{NB}{NC}=\frac{\sin\angle NCB}{\sin\angle NBC}=\frac{\cos(a/2)}{\cos(c/2)}=\frac{\sin\angle BLN}{\sin\angle CLN}
详细分析

将第2、3步中的角平分线角相加：∠LBN=∠LBC+∠CBN=c+d2+(90∘−c2)=90∘+d2\angle LBN=\angle LBC+\angle CBN=\tfrac{c+d}2+(90^\circ-\tfrac c2)=90^\circ+\tfrac d2，同理 ∠LCN=∠LCB+∠BCN=a+d2+(90∘−a2)=90∘+d2\angle LCN=\angle LCB+\angle BCN=\tfrac{a+d}2+(90^\circ-\tfrac a2)=90^\circ+\tfrac d2；故 ∠LBN=∠LCN\angle LBN=\angle LCN。三角形 NBCNBC 中的正弦定理给出 NB/NC=sin⁡∠NCB/sin⁡∠NBC=cos⁡(a/2)/cos⁡(c/2)NB/NC=\sin\angle NCB/\sin\angle NBC=\cos(a/2)/\cos(c/2)，与上一步的比值相符；而三角形 NBL,NCLNBL,NCL 中的正弦定理结合 ∠LBN=∠LCN\angle LBN=\angle LCN 给出 NB/NC=sin⁡∠BLN/sin⁡∠CLNNB/NC=\sin\angle BLN/\sin\angle CLN。