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第3题

设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，Γ\Gamma 为其外接圆。设 EE 为对角线 ACAC 与 BDBD 的交点，设 LL 为与边 ABAB、BCBC、CDCD 相切的圆的圆心，设 MM 为 Γ\Gamma 上不含 AA、DD 的弧 BCBC 的中点。证明三角形 BCEBCE 中与顶点 EE 相对的旁心在直线 LMLM 上。
第 8/8 步：借助正弦唯一性引理得出结论
上一步下一步
∠BLM=∠BLN ⇒ L,M,N collinear\angle BLM=\angle BLN\ \Rightarrow\ L,M,N\ \text{collinear}
详细分析

MM 与 NN 都在角 ∠BLC\angle BLC 内部，故 ∠BLM+∠MLC=∠BLC=∠BLN+∠NLC\angle BLM+\angle MLC=\angle BLC=\angle BLN+\angle NLC。结合 sin⁡∠BLM/sin⁡∠MLC=sin⁡∠BLN/sin⁡∠NLC\sin\angle BLM/\sin\angle MLC=\sin\angle BLN/\sin\angle NLC（第6-7步），由初等事实：两组正角若和相等且小于 180∘180^\circ，正弦之比也相等，则对应角必分别相等，从而迫使 ∠BLM=∠BLN\angle BLM=\angle BLN。因此射线 LMLM 与 LNLN 重合，故 NN 在直线 LMLM 上，即为所证。