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第5题

求所有函数 f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}，使得对一切整数 aa 和 bb，f(f(a)−b)+b f(2a)f(f(a)-b)+b\,f(2a) 都是完全平方数。
第 1/5 步：答案：两个函数族
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f(n)=n2 for all n;orf(n)=0 (n even), f(n)=any perfect square (n odd)f(n)=n^2\ \text{for all }n;\qquad\text{or}\qquad f(n)=0\ (n\text{ even}),\ f(n)=\text{any perfect square}\ (n\text{ odd})
详细分析

解为对一切 nn 有 f(n)=n2f(n)=n^2，以及另一族：对每个偶数 nn 有 f(n)=0f(n)=0，对每个奇数 nn，f(n)f(n) 为任意完全平方数（可对每个奇数独立选取）。