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第5题

求所有函数 f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}，使得对一切整数 aa 和 bb，f(f(a)−b)+b f(2a)f(f(a)-b)+b\,f(2a) 都是完全平方数。
第 3/5 步：验证偶数处为零的函数族
上一步下一步
f(2a)=0 ⇒ f(f(a)−b)+bf(2a)=f(f(a)−b), a square for every value f(a)−bf(2a)=0\ \Rightarrow\ f(f(a)-b)+bf(2a)=f(f(a)-b),\ \text{a square for every value }f(a)-b
详细分析

若 ff 在所有偶数处取零，在每个奇数处取某个完全平方数，则 2a2a 恒为偶数，故 f(2a)=0f(2a)=0，式子化简为 f(f(a)−b)f(f(a)-b)。当 bb 取遍所有整数时，m=f(a)−bm=f(a)-b 也取遍所有整数，而按构造 f(m)f(m) 恒为完全平方数（mm 为偶数时是 00，mm 为奇数时是所选的平方数）。故整个表达式对一切 a,ba,b 都是完全平方数。