记 f(0) 为 c。取 a=0、b=c 得 c+c²=z²，分解平方差可知 c=0 或 c=−1。若 c=−1，取 b=f(a) 可知对每个 a，f(a)f(2a)−1 是完全平方数。关于“比平方数大一”的数的素因子有标准论证，迫使 f(a) 的每个素因子为 2 或模 4 同余于 1，且不含因子 4。特别地这对 −4 处成立。但取 a=0、b=3 得 f(−4)−3 为完全平方数，故 f(−4) 模 4 同余于 3，矛盾。因此 f(0)=0。