第5题

求所有函数

f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

，使得对一切整数

a

和

b

，

f(f(a)-b)+b\,f(2a)

都是完全平方数。

第 5/5 步：必要性：剩余的两种情形

上一步下一步

f(a)f(2a)-1=x^2\ \Rightarrow\ f(n)\ \text{is always a perfect square};\qquad S=\{n:f(n)=0\}\ \text{unbounded above}\ \Rightarrow\ \text{Family 1};\qquad S\ \text{bounded above}\ \Rightarrow\ f(n)=n^2

详细分析

由 f(0)=0，取 a=0、b=−n 可知每个 f(n) 都是完全平方数。将 b 换为 f(a)−b 得辅助结论 ()：f(b)+(f(a)−b)f(2a) 是完全平方数。令 S 为零点集。若 S 无上界，固定 n 并取 k 属于 S 且 k>f(n)。在 a=n,b=k 处应用 ()，则 (f(n)−k)f(2n) 是完全平方数；前一因子为负，后一因子为完全平方数，故 f(2n)=0。因此偶数处恒为零，奇数处可任取完全平方数。若 S 有上界，取充分大的素数 p 并令 n=(p+1)/2。在 a=n,b=2n 处应用 ()，得到 f(2n)(f(n)−2n+1) 为完全平方数。由于 f(2n) 非零，写 f(n)=u² 可得 u²−v²=p，从而 u=n、f(n)=n²。这些 n 无上界。对其中任意充分大的 k 在 () 中作完全平方数间距论证，得到 f(2n) 为 0 或 f(n) 的四倍；因 S 有上界，充分大的 k 满足 f(2k)=4k²。最后在 a=k,b=n 处应用 (**)，得到 (2k²−n)²+f(n)−n² 在任意充分大的 k 时都是完全平方数，故对每个 n 有 f(n)=n²。