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第1题

求所有正整数对 (a,b)(a,b)，使得 a3a^3 是 b2b^2 的倍数，且 b−1b-1 是 a−1a-1 的倍数。（若存在整数 kk 使得 n=kmn=km，则称 nn 是 mm 的倍数。）
第 3/5 步：排除 c<a
上一步下一步
c<a⇒c=1⇒a=d2, b=d3,(d2−1)∣(d3−1)⟹(d+1)∣1⟹d=1c<a\Rightarrow c=1\Rightarrow a=d^2,\ b=d^3,\quad (d^2-1)\mid(d^3-1)\Longrightarrow(d+1)\mid1\Longrightarrow d=1
详细分析

若 c<ac<a，同余式 c≡1(moda−1)c\equiv1\pmod{a-1} 与 0<c<a0<c<a 迫使 c=1c=1，从而 a3=b2a^3=b^2。设正整数 dd 使 a=d2a=d^2、b=d3b=d^3，则 (a−1)∣(b−1)(a-1)\mid(b-1) 变为 (d2−1)∣(d3−1)(d^2-1)\mid(d^3-1)，即 (d−1)(d+1)∣(d−1)(d2+d+1)(d-1)(d+1)\mid(d-1)(d^2+d+1)。当 d>1d>1 时化简为 (d+1)∣(d2+d+1)=d(d+1)+1(d+1)\mid(d^2+d+1)=d(d+1)+1，迫使 (d+1)∣1(d+1)\mid1，不可能。故 d=1d=1，给出前面已计入的平凡解 a=b=1a=b=1。