MathLabs

第2题

设 ABCABC 是直角三角形，∠B=90∘\angle B=90^\circ。点 DD 在直线 CBCB 上，且 BB 在 DD 与 CC 之间。设 EE 为 ADAD 的中点，FF 为 △ACD\triangle ACD 外接圆与 △BDE\triangle BDE 外接圆的第二个交点。证明当 DD 变化时，直线 EFEF 恒过一个定点。
第 5/5 步：直线 EF 恒与 BC 交于同一点
上一步下一步
line EF∩{y=0}=(−c,0), independent of d\text{line } EF \cap \{y=0\} = (-c,0),\ \text{independent of } d
详细分析

写出过 EE、FF 的直线并令 y=0y=0，得 xx 截距为 x=−cx=-c，完全不依赖于 dd。因此当 DD（即 dd）变化时，直线 EFEF 恒过定点 P=(−c,0)P=(-c,0)，即射线 CBCB 越过 BB 延长后满足 BP=BCBP=BC 的点。