第3题

求所有正整数

k<202

，使得存在正整数

n

满足

\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},

其中

\{x\}

表示

x

的小数部分。（即

\{x\}

是满足

0\le r<1

且

x-r

为整数的实数

r

。）

第 2/5 步：去分母

上一步下一步

nk(k+1)-404z=202k,\qquad z=\sum_{i=1}^{k}\left\lfloor\frac{in}{202}\right\rfloor

详细分析

写 $\{in/202\}=in/202-\lfloor in/202\rfloor$ ，对 $i=1,\ldots,k$ 求和，等式变为 $\frac{n}{202}\cdot\frac{k(k+1)}{2}-z=\frac{k}{2}$ ，其中 $z$ 为上述取整之和。两边乘以 $404$ 即得上式所示整数恒等式。