第4题

对 $k$ 归纳证明 $n=2^{k-1}+1$ 必败；$k=1$、$n=2$ 显然，因为只有一个盒子时无法移动。假设 $m$ 个盒子对 $2^{m-1}+1$ 颗弹珠必败，反设 $m+1$ 个盒子对 $2^m+1$ 颗弹珠能胜。设 $X$ 是弹珠 $2^{m-1}+1$ 最后一次离开起始盒的那一步。在 $X$ 之后，弹珠 $1,\ldots,2^{m-1}+1$ 绝不可能全部处于同一盒中：否则从那一刻逆向退回 $X$ 并忽略 $>2^{m-1}+1$ 的弹珠，就仅用起始盒以外的 $m$ 个盒子完成了 $2^{m-1}+1$ 颗弹珠的获胜过程（因为 $X$ 之后起始盒始终留有 $>2^{m-1}+1$ 的弹珠），与归纳假设矛盾。由于每个盒子始终是连续区间，这意味着 $X$ 之后弹珠 $1$ 绝不会与任何 $\ge 2^{m-1}+1$ 的弹珠同盒。