第5题

由于使 $P=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ 取负值的 $4$ 元组显然存在，故 $P$ 的最小值严格为负。若 $s=(a+b+c+d)/4\ne0$，将每个变量平移 $-s$ 不改变各差（从而不改变 $P$），但使 $a^2+b^2+c^2+d^2$ 严格减小为 $1-4s^2<1$；再把平移后的四元组乘以 $(1-4s^2)^{-1/2}>1$ 即可恢复平方和为1，同时把负数 $P$ 乘以 $(1-4s^2)^{-2}>1$ 使其更小。因此任何极小点必满足 $a+b+c+d=0$。