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第5题

设实数 a,b,c,da,b,c,d 满足 a2+b2+c2+d2=1a^2+b^2+c^2+d^2=1。求 (a−b)(b−c)(c−d)(d−a)(a-b)(b-c)(c-d)(d-a) 的最小值，并求出取到该最小值的所有 (a,b,c,d)(a,b,c,d)。
第 4/4 步：还原全部八个取等四元组
上一步下一步
(a,b,c,d)=(3−14,1−34,−1+34,1+34) (+ cyclic shifts and ±)(a,b,c,d)=\left(\frac{\sqrt3-1}{4},\frac{1-\sqrt3}{4},-\frac{1+\sqrt3}{4},\frac{1+\sqrt3}{4}\right)\text{ (+ cyclic shifts and }\pm\text{)}
详细分析

对 y=−12y=-\tfrac{1}{2}、z=14z=\tfrac{1}{4}、x=−14x=-\tfrac{1}{4} 的情形：y=−12y=-\tfrac{1}{2} 意味着 1+2y=(a+b)2+(c+d)2=01+2y=(a+b)^2+(c+d)^2=0，故 b=−ab=-a 且 d=−cd=-c。此时 a2+b2+c2+d2=1a^2+b^2+c^2+d^2=1 化为 a2+c2=12a^2+c^2=\tfrac{1}{2}，而 x=ac+bd=2ac=−14x=ac+bd=2ac=-\tfrac{1}{4} 给出 ac=−18ac=-\tfrac{1}{8}（同时自动满足 z=ad+bc=−2ac=14z=ad+bc=-2ac=\tfrac{1}{4}）。解 a2+c2=12a^2+c^2=\tfrac{1}{2}、ac=−18ac=-\tfrac{1}{8} 得 {a,c}={3−14,−3+14}\{a,c\}=\left\{\tfrac{\sqrt3-1}{4},-\tfrac{\sqrt3+1}{4}\right\}（差一个整体正负号）。另一情形 z=−12z=-\tfrac{1}{2}、y=14y=\tfrac{1}{4} 给出奇数步循环移位（其中 d=−ad=-a 且 c=−bc=-b）。总共有 88 个解：(3−14,1−34,−1+34,1+34)\left(\tfrac{\sqrt3-1}{4},\tfrac{1-\sqrt3}{4},-\tfrac{1+\sqrt3}{4},\tfrac{1+\sqrt3}{4}\right) 的 44 个循环移位及其相反数。