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第1题

设整数 n≥5n\ge5。考虑边长分别为 1,2,…,n1,2,\ldots,n 的 nn 个正方形,将它们放置在平面上,使得各边分别平行于 xx 轴和 yy 轴。假设任意两个正方形至多在顶点处接触。证明可以这样放置这些正方形,使得每个正方形恰好与另外两个正方形接触。
第 2/3 步:当差为1时闭合回路
(∑a∈Aa)2+(n−3)+(n−1)22=(∑b∈Bb)2+n+(n−2)22\left(\sum_{a\in A}a\right)\sqrt2+\frac{(n-3)+(n-1)}{2}\sqrt2=\left(\sum_{b\in B}b\right)\sqrt2+\frac{n+(n-2)}{2}\sqrt2
详细分析

将 AA 的正方形沿一条 45∘45^\circ 对角线(对角顶点相接)排成一串,将 BB 的正方形沿平行的一条 45∘45^\circ 对角线排成一串。在两端垂直的对角方向上分别放置 {n,n−3}\{n,n-3\} 与 {n−1,n−2}\{n-1,n-2\}。当 ∑a∈Aa−∑b∈Bb=1\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b=1 时,把边长为 n−3n-3 与 n−1n-1 的正方形接到 AA 对角链,把边长为 nn 与 n−2n-2 的正方形接到 BB 对角链;由 (n+(n−2))−((n−3)+(n−1))=2=2⋅1(n+(n-2))-((n-3)+(n-1))=2=2\cdot1 知上式成立,两端的跨度恰好相等。