亚太数学奥林匹克 · 2023年

试题

第1题设整数 $n\ge5$ 。考虑边长分别为 $1,2,\ldots,n$ 的 $n$ 个正方形，将它们放置在平面上，使得各边分别平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴。假设任意两个正方形至多在顶点处接触。证明可以这样放置这些正方形，使得每个正方形恰好与另外两个正方形接触。解法: 1
第2题求所有满足 $n\ge2$ 且 $\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n,$ 的整数 $n$ ，其中 $\sigma(n)$ 表示 $n$ 的所有正因数之和， $p(n)$ 表示 $n$ 的最大素因数。解法: 1
第3题设 $ABCD$ 是平行四边形。点 $W$ , $X$ , $Y$ , $Z$ 分别在边 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ 上，使得三角形 $AWZ$ , $BXW$ , $CYX$ , $DZY$ 的内心构成平行四边形。证明 $WXYZ$ 是平行四边形。解法: 1
第4题设 $c>0$ 为给定的正实数， $\mathbb{R}_{>0}$ 为全体正实数集合。求所有函数 $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ ，使得 $f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.$ 解法: 1
第5题平面上有 $n$ 条线段，任意三条不共点，且任意两条都在各自内部恰好相交一次。Tony 和他的 $2n-1$ 位朋友分别站在不同线段的端点处。Tony 希望按如下方式给朋友们送圣诞礼物：首先，他在每条线段上选定一个端点作为“汇点”；然后把礼物放在自己所在的端点。礼物按如下规则移动：在线段上时朝该线段的汇点移动；到达两条线段的交点时，转到另一条线段上并朝新的汇点移动。若礼物到达某个端点，站在该端点处的朋友就能收到礼物。证明 Tony 恰好能把礼物送给 $2n-1$ 位朋友中的 $n$ 位。解法: 1