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第1题

设整数 n≥5n\ge5。考虑边长分别为 1,2,…,n1,2,\ldots,n 的 nn 个正方形，将它们放置在平面上，使得各边分别平行于 xx 轴和 yy 轴。假设任意两个正方形至多在顶点处接触。证明可以这样放置这些正方形，使得每个正方形恰好与另外两个正方形接触。
第 3/3 步：当差为2时闭合回路并检验不重叠
上一步下一步
(∑a∈Aa)2+(n−3)+(n−2)22=(∑b∈Bb)2+n+(n−1)22,ai+bj22≤(n−4)2<2n−322\left(\sum_{a\in A}a\right)\sqrt2+\frac{(n-3)+(n-2)}{2}\sqrt2=\left(\sum_{b\in B}b\right)\sqrt2+\frac{n+(n-1)}{2}\sqrt2,\qquad \frac{a_i+b_j}{2}\sqrt2\le(n-4)\sqrt2<\frac{2n-3}{2}\sqrt2
详细分析

当 ∑a∈Aa−∑b∈Bb=2\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b=2 时，将 n−3n-3 与 n−2n-2 接到 AA 链，将 nn 与 n−1n-1 接到 BB 链；由于 (n+(n−1))−((n−3)+(n−2))=4=2⋅2(n+(n-1))-((n-3)+(n-2))=4=2\cdot2，上面的第一个恒等式成立，两条链同样在四个角正方形处闭合。两种情形下，AA、BB 两条对角线之间的垂直距离均为 (n−3)+n22=2n−322\tfrac{(n-3)+n}{2}\sqrt2=\tfrac{2n-3}{2}\sqrt2，而对任意 ai∈Aa_i\in A、bj∈Bb_j\in B 都有 ai,bj≤n−4a_i,b_j\le n-4，故 ai+bj22≤(n−4)2<2n−322\tfrac{a_i+b_j}{2}\sqrt2\le(n-4)\sqrt2<\tfrac{2n-3}{2}\sqrt2。因此两条平行链互不接触，回路中的每个正方形都只与沿环相邻的两个正方形接触。