设 n=p1α1⋯pkαkn=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}n=p1α1⋯pkαk，其中 p1<⋯<pkp_1<\cdots<p_kp1<⋯<pk，故 p(n)=pkp(n)=p_kp(n)=pk。由 σ(n)\sigma(n)σ(n) 的积性公式，每个因子 1+pi−1+⋯+pi−αi1+p_i^{-1}+\cdots+p_i^{-\alpha_i}1+pi−1+⋯+pi−αi 严格小于无穷等比级数和 pi/(pi−1)p_i/(p_i-1)pi/(pi−1)。因 pi≥i+1p_i\ge i+1pi≥i+1 且 t↦t/(t−1)t\mapsto t/(t-1)t↦t/(t−1) 单调递减，故 ∏i=1kpi/(pi−1)≤∏i=1k(i+1)/i=k+1\prod_{i=1}^k p_i/(p_i-1)\le\prod_{i=1}^k(i+1)/i=k+1∏i=1kpi/(pi−1)≤∏i=1k(i+1)/i=k+1，从而 pk−1<k+1p_k-1<k+1pk−1<k+1。