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第2题

求所有满足 n≥2n\ge2 且 σ(n)p(n)−1=n,\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n, 的整数 nn，其中 σ(n)\sigma(n) 表示 nn 的所有正因数之和，p(n)p(n) 表示 nn 的最大素因数。
第 2/3 步：迫使素因数至多两个且不超过3
上一步下一步
k≥3 ⟹ pk−1≥2k−2≥k+1, contradiction ⟹ k≤2, pk≤3k\ge3\ \Longrightarrow\ p_k-1\ge 2k-2\ge k+1,\text{ contradiction}\ \Longrightarrow\ k\le2,\ p_k\le3
详细分析

当 k≥3k\ge3 时，第 kk 个素数至少为 2k−12k-1，故 pk−1≥2k−2≥k+1p_k-1\ge2k-2\ge k+1，与 pk−1<k+1p_k-1<k+1 矛盾。因此 k≤2k\le2，再由 pk<k+2≤4p_k<k+2\le4 得 pk≤3p_k\le3。