若 k=1k=1k=1，则 n=pαn=p^\alphan=pα 且 σ(n)=1+p+⋯+pα≡1(modp)\sigma(n)=1+p+\cdots+p^\alpha\equiv1\pmod pσ(n)=1+p+⋯+pα≡1(modp)，故 nnn 不能整除 σ(n)\sigma(n)σ(n)，不可能。因此 k=2k=2k=2，p1=2p_1=2p1=2，p2=3p_2=3p2=3，n=2α3βn=2^\alpha3^\betan=2α3β（α,β≥1\alpha,\beta\ge1α,β≥1），且方程要求 σ(n)/n=p2−1=2\sigma(n)/n=p_2-1=2σ(n)/n=p2−1=2。但 σ(n)/n=(1+12+⋯+12α)(1+13+⋯+13β)≥(1+12)(1+13)=32⋅43=2\sigma(n)/n=(1+\tfrac{1}{2}+\cdots+\tfrac{1}{2^\alpha})(1+\tfrac{1}{3}+\cdots+\tfrac{1}{3^\beta})\ge(1+\tfrac{1}{2})(1+\tfrac{1}{3})=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}=2σ(n)/n=(1+21+⋯+2α1)(1+31+⋯+3β1)≥(1+21)(1+31)=23⋅34=2，取等当且仅当 α=β=1\alpha=\beta=1α=β=1。所以唯一解为 n=21⋅31=6n=2^1\cdot3^1=6n=21⋅31=6。