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第3题

设 ABCDABCD 是平行四边形。点 WW, XX, YY, ZZ 分别在边 ABAB, BCBC, CDCD, DADA 上，使得三角形 AWZAWZ, BXWBXW, CYXCYX, DZYDZY 的内心构成平行四边形。证明 WXYZWXYZ 是平行四边形。
第 1/3 步：由平行投影得对角内切圆半径相等
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r2−r1=I1I2sin⁡θ=I3I4sin⁡θ=r4−r3 ⟹ r1+r4=r2+r3;similarly r1+r2=r3+r4 ⟹ r1=r3, r2=r4r_2-r_1=I_1I_2\sin\theta=I_3I_4\sin\theta=r_4-r_3\ \Longrightarrow\ r_1+r_4=r_2+r_3;\quad\text{similarly }r_1+r_2=r_3+r_4\ \Longrightarrow\ r_1=r_3,\ r_2=r_4
详细分析

设 △AWZ,△BXW,△CYX,△DZY\triangle AWZ,\triangle BXW,\triangle CYX,\triangle DZY 的内心与内切圆半径分别为 I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 与 r1,r2,r3,r4r_1,r_2,r_3,r_4。因 I1,I2I_1,I_2 到 ABAB 的距离为 r1,r2r_1,r_2，I3,I4I_3,I_4 到平行边 CDCD 的距离为 r3,r4r_3,r_4，且在平行四边形 I1I2I3I4I_1I_2I_3I_4 中 I1I2I_1I_2 与 I4I3I_4I_3 平行且相等，向 ABAB 的法线方向（与 I1I2I_1I_2 成锐角 θ\theta）投影得 r2−r1=r4−r3r_2-r_1=r_4-r_3，即 r1+r4=r2+r3r_1+r_4=r_2+r_3。同理向 BCBC 的法线方向投影得 r1+r2=r3+r4r_1+r_2=r_3+r_4。两式相加减即得 r1=r3r_1=r_3 与 r2=r4r_2=r_4。