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第3题

设 ABCDABCD 是平行四边形。点 WW, XX, YY, ZZ 分别在边 ABAB, BCBC, CDCD, DADA 上，使得三角形 AWZAWZ, BXWBXW, CYXCYX, DZYDZY 的内心构成平行四边形。证明 WXYZWXYZ 是平行四边形。
第 2/3 步：固定顶角与内切圆半径时两邻边的单调关系
上一步下一步
w+z−w2+z2−2wzcos⁡α=2rcot⁡α2=K ⟹ z=K(w−K/2)(1+cos⁡α)w−Kw+z-\sqrt{w^2+z^2-2wz\cos\alpha}=2r\cot\frac{\alpha}{2}=K\ \Longrightarrow\ z=\frac{K(w-K/2)}{(1+\cos\alpha)w-K}
详细分析

在顶角为 α\alpha、两邻边为 w,zw,z、对边为 c=w2+z2−2wzcos⁡αc=\sqrt{w^2+z^2-2wz\cos\alpha}、内切圆半径为 rr 的任意三角形中，由顶点引出的切线长为 (w+z−c)/2=rcot⁡(α/2)(w+z-c)/2=r\cot(\alpha/2)。令 K=2rcot⁡(α/2)K=2r\cot(\alpha/2)，将 w+z−K=cw+z-K=c 平方并解出 zz，因 (1+cos⁡α)>0(1+\cos\alpha)>0 且 K>0K>0，故 zz 表示为上式所示关于 ww 的严格递减函数。