第4题

设

c>0

为给定的正实数，

\mathbb{R}_{>0}

为全体正实数集合。求所有函数

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

，使得

f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.

第 1/3 步：证明下界 f(y)≥2y

f(y)<2y\ \Longrightarrow\ x=\frac{2y-f(y)}{c}>0\ \Longrightarrow\ (c+1)x+f(y)=x+2y\ \Longrightarrow\ 2cx=0,\text{ contradiction}\ \Longrightarrow\ f(y)\ge2y

详细分析

若对某个 $y>0$ 有 $f(y)<2y$ ，取 $x=(2y-f(y))/c>0$ 可使两个自变量 $(c+1)x+f(y)$ 与 $x+2y$ 相等，代入函数方程即得 $2cx=0$ ，与 $c>0$ 、 $x>0$ 矛盾。因此对所有 $y>0$ 均有 $f(y)\ge2y$ 。